一些导体棒切割磁感线的运动学方程

最近学到 受某题启发来推导一下

初速度单导体棒切割磁感线运动学方程推导

受力分析得原始方程

$\frac{B^2 L^2 v}{R}=-ma$

微分形式

$\frac{B^2 L^2 v}{R}=-m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$

分离变量

$-\mathrm dt = \frac{mR\mathrm dv}{B^2 L^2 v}$

两边积分

$-t+C=\frac{mR}{B^2L^2}\ln v$

代入初始条件

$\begin{cases} t=0\\ v=v_0 \end{cases}$

得

$C=\frac{mR}{B^2 L^2}\ln v_0$

整理得

$v=v_0 e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}$

恒定外力单导体棒切割磁感线运动学方程推导

受力分析得原始方程

$F-\frac{B^2 L^2 v}{R}=ma$

微分形式

$F-\frac{B^2 L^2 v}{R}=m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$

分离变量

$\mathrm dt = \frac{mR\mathrm dv}{FR-B^2 L^2 v}$

两边积分

$t+C=-\frac{mR}{B^2L^2}\ln\left(\frac{F}{m}-\frac{B^2 L^2}{mR}v\right)$

代入初始条件

$\begin{cases} t=0\\ v=v_0 \end{cases}$

得

$C=-\frac{mR}{B^2L^2}\ln\left(\frac{F}{m}-\frac{B^2 L^2}{mR}v_0\right)$

整理得

$v=\left(v_0-\frac{FR}{B^2 L^2}\right)e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}+\frac{FR}{B^2 L^2}$

特别地，$v_0=0$ 时有

$v=\frac{FR}{B^2 L^2}\left(1-e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}\right)$

公式解法（公式做题就是快）

2025.2.22 更新
之前学艺不精 还不知道线性微分方程的一般解法 突然发现这两个正好是一个齐次一个非齐次 非常典型了

初速度

受力分析得原始方程

$\frac{B^2 L^2 v}{R}=-ma$

即

$\frac{B^2 L^2}{R}v+mv'=0$

特征方程

$\frac{B^2 L^2}{R}+m\lambda=0$

得到

$\lambda=-\frac{B^2 L^2}{mR}$

于是有

$v=Ce^{\lambda t}=Ce^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}$

代入初始条件

$\begin{cases} t=0\\ v=v_0 \end{cases}$

得

$C=v_0$

整理得

$v=v_0 e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}$

恒定外力

受力分析得原始方程

$\frac{B^2 L^2 v}{R}+ma=F$

即

$\frac{B^2 L^2 v}{R}+mv'=F$

由初始条件

$\begin{cases} t=0\\ v=v_0 \end{cases}$

得特解

$v^*=\frac{FR}{B^2 L^2}$

特征方程

$\frac{B^2 L^2}{R}+m\lambda=0$

得到

$\lambda=-\frac{B^2 L^2}{mR}$

于是有

$v=Ce^{\lambda t}+v^*=Ce^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}+\frac{FR}{B^2 L^2}$

代入初始条件得

$C=v_0-\frac{FR}{B^2 L^2}$

整理得

$v=\left(v_0-\frac{FR}{B^2 L^2}\right)e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}+\frac{FR}{B^2 L^2}$